如何求解线性方程组

在数学中，线性方程是包含两个变量并且可以在图形上绘制为直线的方程。线性方程组是一组包含相同变量集的两个或多个线性方程。线性方程组可用于模拟现实世界的问题。它们可以使用多种不同的方法来解决：

作图
代换
加减法
减法消除

1作图
白人老师在黑板上写字
埃里克拉普托什摄影/混合图像/盖蒂图片社
绘图是求解线性方程组的最简单方法之一。您所要做的就是将每个方程画成一条直线，然后找到直线相交的点。

例如，考虑以下包含变量x和y的线性方程组：

y = x + 3
y = -1 x - 3

这些方程已经写成 斜截式，使它们易于绘制。如果方程没有写成斜截式，你需要先简化它们。一旦完成，求解x和y只需要几个简单的步骤：

1. 画出两个方程。

2. 找到方程相交的点。在这种情况下，答案是 (-3, 0)。

3. 通过将值x = -3 和y = 0 代入原始方程式 来验证您的答案是否正确。

y  =  x  + 3
(0) = (-3) + 3
0 = 0

y  = -1 x  - 3
0 = -1(-3) - 3 0
= 3 - 3
0 = 0

2代换
求解方程组的另一种方法是代入。使用这种方法，您实际上是在简化一个方程并将其合并到另一个方程中，这样您就可以消除一个未知变量。

考虑以下线性方程组：

3 x + y = 6
x = 18 -3 y

在第二个方程中，x已经是孤立的。如果不是这种情况，我们首先需要简化方程以隔离x。在第二个方程中分离出x后，我们可以用第二个方程中的等效值替换第一个方程中的 x ： (18 - 3y)。

1. 用第二个方程中给定的x值替换第一个方程中的x。

3 ( 18 – 3y ) + y = 6

2. 简化等式的每一边。

54 – 9 y + y = 6
54 – 8 y = 6

3. 求解y 的方程。

54 – 8 y – 54 = 6 – 54
-8 y = -48
-8 y /-8 = -48/-8
y = 6

4. 代入y = 6 并求解x。

x = 18 -3 y
x = 18 -3(6)
x = 18 - 18
x = 0

5. 验证 (0,6) 是解。

x = 18 -3 y
0 = 18 – 3(6)
0 = 18 -18
0 = 0

3加减法
如果给出的线性方程式的一侧是变量，另一侧是常数，则求解系统的最简单方法是消元法。

考虑以下线性方程组：

x + y = 180
3 x + 2 y = 414
1. 首先，将方程式并排书写，以便您可以轻松比较每个变量的系数。

2. 接下来，将第一个方程乘以-3。

-3(x + y = 180)

3. 为什么乘以-3？将第一个方程式添加到第二个方程式以找出答案。

-3x + -3y = -540
+ 3x + 2y = 414
0 + -1y = -126
我们现在已经消除了变量x。

4. 求解变量 y：

y = 126

5. 代入y = 126 求出x。

x + y = 180
x + 126 = 180
x = 54

6. 验证 (54, 126) 是正确答案。

3 x + 2 y = 414
3(54) + 2(126) = 414
414 = 414

4减法消除
另一种消元法是对给定的线性方程进行减法而不是加法。

考虑以下线性方程组：

y - 12 x = 3
y - 5 x = -4

1. 我们可以减去方程式而不是相加方程式以消除y。

y - 12 x = 3
- ( y  - 5 x  = -4)
0 - 7 x = 7

2. 求解x。

-7 x = 7
x = -1

3. 代入x = -1 求解y。

y - 12 x = 3
y - 12(-1) = 3
y + 12 = 3
y = -9

4. 验证 (-1, -9) 是正确的解决方案。

(-9) - 5(-1) = -4
-9 + 5 = -4
-4 = -4